Progressão aritmética
Propriedades úteis na resolução de problemas
As progressões aritméticas (PA) possuem algumas propriedades que são bastante úteis na resolução de problemas, principalmente alguns propostos nos vestibulares.
1ª propriedade: soma dos termos eqüidistantes.
Numa PA, os termos opostos, ou eqüidistantes, ou seja, os que estão à mesma distância do termo central da PA, têm a mesma soma.
2ª propriedade: média aritmética.
Observe a PA infinita (3, 10, 17, 24, 31, 38, ...).
Se tomarmos três de seus termos:
e fizermos
, ou seja, se tirarmos a média aritmética dos termos "da ponta", obteremos
,
que é o termo do meio.
E isso também acontece para quaisquer três termos consecutivos da PA.
No caso de uma PA com um número ímpar de termos, essa propriedade vale para termos opostos:
Há também duas observações que não consideradas propriedades, mas facilitam a resolução de problemas.
1ª observação: PAs desconhecidas de 3, 4, ou 5 termos.
Sempre que um exercício se referir a uma PA desconhecida com 3, 4 ou 5 termos é útil utilizar:
3 termos - (x - r, x, x + r)
4 termos - (x - 3r, x - r, x + r, x + 3r)
5 termos - (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r)
Assim, evita-se o uso de muitas incógnitas, pois o natural seria utilizar a, b, c, d, e para os termos desconhecidos.
2ª observação: decompor os termos em função do 1º termo e da razão.
Em problemas que se referem a termos aleatórios de uma PA, por exemplo,
, é útil diminuir o número de incógnitas, decompondo esses termos por meio da fórmula do termo geral.
Assim, utiliza-se
no lugar de 
no lugar de 
.
Nesse caso, utilizaremos a propriedade da média aritmética para resolver o problema.
Assim, sabemos que
.
Resolvendo a equação, temos:
Logo, a PA é
.
E sua razão é
.
2) Sabe-se que, numa PA,
. Determine-a.
Utilizaremos a 2ª observação para resolver esse problema.
Note que, ao invés de 4 incógnitas, temos agora apenas duas!
Assim,
Temos o sistema:
Subtraindo a segunda da primeira equação, obtemos:
-2r = -6
r = 3.
Substituindo r na primeira igualdade, acharemos a1:
E a PA fica determinada: (4, 7, 10, 13, 16, ...)
1ª propriedade: soma dos termos eqüidistantes.
Numa PA, os termos opostos, ou eqüidistantes, ou seja, os que estão à mesma distância do termo central da PA, têm a mesma soma.
 |
2ª propriedade: média aritmética.
Observe a PA infinita (3, 10, 17, 24, 31, 38, ...).
Se tomarmos três de seus termos:
 |
e fizermos
, ou seja, se tirarmos a média aritmética dos termos "da ponta", obteremos
 |
que é o termo do meio.
E isso também acontece para quaisquer três termos consecutivos da PA.
No caso de uma PA com um número ímpar de termos, essa propriedade vale para termos opostos:
 |
Há também duas observações que não consideradas propriedades, mas facilitam a resolução de problemas.
1ª observação: PAs desconhecidas de 3, 4, ou 5 termos.
Sempre que um exercício se referir a uma PA desconhecida com 3, 4 ou 5 termos é útil utilizar:
3 termos - (x - r, x, x + r)
4 termos - (x - 3r, x - r, x + r, x + 3r)
5 termos - (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r)
Assim, evita-se o uso de muitas incógnitas, pois o natural seria utilizar a, b, c, d, e para os termos desconhecidos.
2ª observação: decompor os termos em função do 1º termo e da razão.
Em problemas que se referem a termos aleatórios de uma PA, por exemplo,
, é útil diminuir o número de incógnitas, decompondo esses termos por meio da fórmula do termo geral.Assim, utiliza-se
no lugar de no lugar de .Exercícios resolvidos
1) Achar a razão da PA (x, 2x + 5, 32).Nesse caso, utilizaremos a propriedade da média aritmética para resolver o problema.
Assim, sabemos que
.Resolvendo a equação, temos:
 |
Logo, a PA é
. E sua razão é
.2) Sabe-se que, numa PA,
. Determine-a.Utilizaremos a 2ª observação para resolver esse problema.
 |
Note que, ao invés de 4 incógnitas, temos agora apenas duas!
Assim,
 |
Temos o sistema:
 |
Subtraindo a segunda da primeira equação, obtemos:
-2r = -6
r = 3.
Substituindo r na primeira igualdade, acharemos a1:
 |
E a PA fica determinada: (4, 7, 10, 13, 16, ...)
Veja também:
Progressão geométrica
Soma de um número finito de termos
Michele Viana Debus de França*
Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação
Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação
Numa progressão geométrica (PG) com um número finito de termos é possível calcular a soma desses termos, a exemplo do que ocorre com a progressão aritmética (PA).
Somar os termos da PG significa fazer
ou, ainda, 
Para encontrarmos uma expressão para calcular essa soma, multiplicaremos por "q" os dois membros da igualdade acima:
E, subtraindo a 1ª igualdade da 2ª:
Eis a fórmula da soma dos termos de uma PG finita.
No caso de uma PG com razão igual a 1, como, por exemplo, (2, 2, 2, 2, 2), essa fórmula não funciona, pois o denominador seria zero.
Nesse caso, a soma é igual ao número de termos multiplicado pelo 1º termo:
Numa PG do tipo (2, 6, 18, 54, ...) não seria possível calcular exatamente a soma de termos que crescem infinitamente. Essa soma seria infinita.
Porém, em casos em que a PG é decrescente, ou seja, possui razão 0 < q < 1, a soma é bastante intuitiva.
Considere, por exemplo, uma pessoa que possui uma barra de chocolate e não quer vê-la acabar tão cedo. Essa pessoa decide, então, que vai comer sempre a metade do pedaço que ela tiver.
Assim, no primeiro dia comerá a metade da barra inteira. No segundo dia, a metade da metade que sobrou do dia anterior. No terceiro dia, comerá a metade do pedaço do dia anterior, e assim por diante.
Esses pedaços consumidos formam uma PG infinita (considerando-se que a pessoa conseguiria dividi-la sempre) e decrescente:
.
Porém, a soma de todas essas quantidades seria igual à barra toda, ou seja, 1.
Logo, é possível determinar a soma desse tipo de PG infinita, por meio da expressão:
Como sabemos o total de prestações (8), vamos calcular o valor do terreno por meio da soma da PG finita, pois as prestações estão em PG de razão 2.
Logo, o valor do terreno é de 25500 unidades monetárias.
2) Dê a fração geratriz da dízima periódica 0, 8888...
Podemos escrever a dízima da seguinte forma:
0, 8888... = 0, 8 + 0, 08 + 0, 008 + 0, 0008 + ..., o que seria igual à soma da PG infinita
.
A fração geratriz é, então, o valor da soma dessa PG.
3) Resolver a equação
.
Mais uma vez, aplicaremos a fórmula da soma da PG infinita, pois o 1º membro da equação é uma PG infinita e decrescente.
Somar os termos da PG significa fazer
ou, ainda, Para encontrarmos uma expressão para calcular essa soma, multiplicaremos por "q" os dois membros da igualdade acima:
 |
E, subtraindo a 1ª igualdade da 2ª:
 |
 |
Eis a fórmula da soma dos termos de uma PG finita.
No caso de uma PG com razão igual a 1, como, por exemplo, (2, 2, 2, 2, 2), essa fórmula não funciona, pois o denominador seria zero.
Nesse caso, a soma é igual ao número de termos multiplicado pelo 1º termo:
 |
PGs infinitas
Mas existe, ainda, outro caso: o das PGs infinitas.Numa PG do tipo (2, 6, 18, 54, ...) não seria possível calcular exatamente a soma de termos que crescem infinitamente. Essa soma seria infinita.
Porém, em casos em que a PG é decrescente, ou seja, possui razão 0 < q < 1, a soma é bastante intuitiva.
Considere, por exemplo, uma pessoa que possui uma barra de chocolate e não quer vê-la acabar tão cedo. Essa pessoa decide, então, que vai comer sempre a metade do pedaço que ela tiver.
Assim, no primeiro dia comerá a metade da barra inteira. No segundo dia, a metade da metade que sobrou do dia anterior. No terceiro dia, comerá a metade do pedaço do dia anterior, e assim por diante.
Esses pedaços consumidos formam uma PG infinita (considerando-se que a pessoa conseguiria dividi-la sempre) e decrescente:
.Porém, a soma de todas essas quantidades seria igual à barra toda, ou seja, 1.
Logo, é possível determinar a soma desse tipo de PG infinita, por meio da expressão:
 |
Exercícios resolvidos
1) Comprei um terreno e vou pagá-lo em 8 prestações crescentes, de modo que a primeira prestação é de 100 unidades monetárias - e cada uma das seguintes é o dobro da anterior. Qual o valor do terreno?Como sabemos o total de prestações (8), vamos calcular o valor do terreno por meio da soma da PG finita, pois as prestações estão em PG de razão 2.
 |
Logo, o valor do terreno é de 25500 unidades monetárias.
2) Dê a fração geratriz da dízima periódica 0, 8888...
Podemos escrever a dízima da seguinte forma:
0, 8888... = 0, 8 + 0, 08 + 0, 008 + 0, 0008 + ..., o que seria igual à soma da PG infinita
 |
A fração geratriz é, então, o valor da soma dessa PG.
 |
3) Resolver a equação
.Mais uma vez, aplicaremos a fórmula da soma da PG infinita, pois o 1º membro da equação é uma PG infinita e decrescente.
|
|
